圆锥曲线解题方法技巧|圆锥曲线的解题方法

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  导语:定义中提到的定点,称为圆锥曲线的焦点;定直线称为圆锥曲线的准线;固定的常数(即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比值)称为圆锥曲线的离心率;焦点到准线的距离称为焦准距;焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点,此两点间的线段称为圆锥曲线的通径,物理学中又称为正焦弦。

圆锥曲线的解题方法

  圆锥曲线的解题方法

  做好圆锥曲线的题,主要从以下四个方面入手:

  一.牢记核心知识

  好多同学在做圆锥曲线题时,特别是小题,比如椭圆,双曲线离心率公式和范围记不清,焦点分别在

  轴,

  轴上的双曲线的渐近线方程傻傻分不清,在做题时自然做不对。所以核心知识必须记清楚,记准确。建议在这章学习时多画图,把基 础性质知识点尽可能的标注在图上,这样记忆更加方便,深刻,也可以通过作图来检验自己是否记住。

  二.计算能力与速度

  这一章计算能力强的同学学习起来相对轻松一些,但是计算能力是可以通过多做题来提升的。后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程,然后得到判别式,两根之和,两根之积的整式。

  三.思维套路

  拿到圆锥曲线的题,很多同学说无从下手,从表面感觉很难。老师建议:山重水复疑无路,没事你就算两步。大部分的圆锥曲线大题,都有共同的三部曲:一设二联立三韦达定理。一设:设直线与圆锥曲线 的两个交点,坐标分别为,直线方程为:

  二联立:通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。三韦达定理:得到二次方程后立马得出判别式,两根之和,两根之积。

  走完三部曲之后,在看题目给出了什么条件,要求什么。例如涉及弦长问题,常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的 斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.总结起来:找值列等量关系,找范围列不等关系,通常结合判别式,基本不等式求解。

  圆锥曲线的解题方法

  一、求圆锥曲线方程

  (1)轨迹法:设点建立方程,化简证明求得。

  例题:动点P(x,y)到定点A(3,0)的距离比它到定直线x=-5的距离少2。求动点P的轨迹方程。

  解析:依题意可知,{C},由题设知{C},{C}{C}。

  (2)定义法:根据圆锥曲线的定义确定曲线的形状。

  上述例题同样可以由定义法求出曲线方程:作直线x=-3,则点P到定点A与到定直线x=-3的距离相等,所以点P的轨迹是以A为焦点,以x=-3为准线的抛物线。

  (3)待定系数法:通过题设条件构造关系式,待定参数即可。

  例1:已知点(-2,3)与抛物线{C}的焦点的距离是5,则P=_____。

  解析:抛物线{C}的焦点为{C},由两点间距离公式解得P=4。

  例2:设椭圆{C}的右焦点与抛物线{C}的焦点相同,离心率为{C},则椭圆的方程为_____。

  解析:抛物线{C}的焦点坐标为(2,0),所以椭圆焦半径为2,故离心率{C}得m=4,而{C},所以椭圆方程为{C}。

  二、圆锥曲线最值问题

  (1)化为求二次函数的最值

  根据已知条件求出一个参数表示的二次函数解析式,用配方法求出在一定范围自变量下函数的最值。

  例题:曲边梯形由曲线{C}及直线x=1,x=2所围成,那么通过曲线上哪一点作切线,能使此切线从曲边梯形上切出一个最大面积的普通梯形。

  解析:设切点{C},求出切线方程{C},再求出这条切线与直线x=1,x=2的交点纵坐标,根据梯形面积公式列出函数关系式:梯形面积={C},从而得出结论。

  (2)利用圆锥曲线性质求最值

  先利用圆锥曲线的定义性质列出关系式,再用几何或代数方法求最值。

  例题:已知双曲线{C}的右焦点为F,有一点A(9,2)。试在双曲线上求一点M,使{C}的值最小。

  解析:设点M到对应准线的距离为d,由双曲线的第二定义有d={C},{C}》点A到点M对应准线的距离{C}(点A在对应准线上的投影为点A’)。所以当且仅当点M为AA’与双曲线右支的交点时,{C}的值最小。

  (3)化为一元二次方程,用根的判别式求最值

  将最值问题转化为含有一个未知量的一元二次方程,利用根的判别式求未知量范围求解。

  例题:直线y=x+9,椭圆C焦点为F1(-3,0),F2(3,0),求与直线有公共点M的椭圆中最短长轴。

  解析:直线与椭圆有公共点,根据题意可联立方程组{C}

  {C},

  由条件得{C},所以椭圆的最短长轴为{C}。

  (4)利用不等式求最值

  列出最值满足的关系式,利用平均值不等式中等号成立的条件求最值。在使用平均值不等式求最值时要满足三个条件:①每一项都要取正值;②不等式的一边为常数;③等号能够成立。

  例题:定长为3的线段AB的两个端点在抛物线{C}上移动,M为AB的中点,则M到y轴的最短距离。

  解析:设点A{C},点B{C},{C},

  {C},当且仅当{C}时取得最小值。所以{C},点M到y轴距离最小值为{C}。

  三、直线与圆锥曲线位置关系问题

  直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判

  别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。

  例题1:过点(2,4)作直线与抛物线{C}只有一个公共点,这样的直线有____条。

  解析:由于点(2,4)在抛物线上,其次只有一个公共点,包括直线平行于抛物线的对称轴,和抛物线交于一点的直线,故有2条。

  例题2:直线y=kx+1与椭圆{C}恒有公共点,则m的取值范围是_____。

  解析:直线与椭圆恒有公共点,所以联立方程{C}恒成立,即{C}恒成立,所以{C}且{C}。

  四、求参数的取值范围

  与圆锥曲线有关的参数范围问题常用两种解法:

  (1)不等式(组)求解法:利用题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围。

  (2)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域求参数的变化范围。

  例题:已知点A(2,0)和抛物线{C}上两点B、C,使得AB⊥BC,求点C纵坐标的取值范围。

  解析:由于B、C是抛物线上两个相关的点,所以可通过B点纵坐标的范围建立关于C点纵坐标的不等式求解。设点B{C},点C{C},{C},{C},

  {C},{C},{C},{C},

  {C}。解得{C}或{C}。

  五、动点轨迹方程

  (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系{C};

  如:已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求P点的轨迹方程。根据题意直接列式:{C}。

  (2)待定系数法:已知所有曲线的类型,根据条件设出所求曲线的方程,再由已知条件确定其待定系数。

  如:线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,求此抛物线的方程。

  (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。

  (4)代入转移法:动点{C}依赖于另一动点{C}的变化为变化,并且{C}又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示{C},再将{C}代入已知曲线求得轨迹方程。

  (5)参数法:当动点{C}坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得到参数方程,再消去参数得轨迹方程。

  六、定点定值问题

  在几何问题中,有些几何量和参数无关,从而构成定值问题,解决这类问题长用取参数和特殊值来确定定值的多少,或将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式,证明该式是恒定的。这类问题通常有两种出来方法:

  (1)从特殊入手,求含变量定点定值,再证明这个定点定值与变量无关。

  (2)直接推理、计算,并在计算的过程中消去变量,从而得到定点定值。

  例题:过抛物线{C}的焦点F作直线l交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别为p,q,则{C}的值必等于_____。

  解析:①令直线与x轴垂直,则直线l:{C} {C},{C}。

  ②设{C},{C}且PM,QN分别垂直于准线于M,N。

  {C},{C},{C}的焦点{C},准线{C},所以直线l:{C},又因为直线l与抛物线相交,故联立方程组得:{C},{C},{C}

  {C},{C},{C}。

本文来源:http://www.kmfunway.cn/zixuezhishi/320636.html

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